Ⅱ. 삼각함수 대단원 평가 문제
다음 중 각을 나타내는 동경이 존재하는 사분면이 나머지 넷과 다른 하나는? 01 • 3점 ① [eqn: 1035 DEG] ② [eqn: -380 DEG] ③ [eqn: 704 DEG] ④ [eqn: {21} over {5} pi] ⑤ [eqn: -{9} over {4} pi] 각 [eqn: theta]를 나타내는 동경과 각 [eqn: 5theta]를 나타내는 동경이 [eqn: x]축에 대하여 대칭일 때, 모든 [eqn: theta]의 값의 합은? 02 (단, [eqn: pi < theta < 2pi]) • 4점 ① [eqn: 2pi] ② [eqn: 5 over 2 pi] ③ [eqn: 3pi] ④ [eqn: 7 over 2 pi] ⑤ [eqn: 4 pi] 호의 길이가 [eqn: 4pi], 넓이가 [eqn: 12pi]인 부채꼴의 중심각의 크기는? 03 • 4점 ① [eqn: pi over 6] ② [eqn: pi over 4] ③ [eqn: pi over 3] ④ [eqn: 2 over 3 pi] ⑤ [eqn: 3 over 4 pi]	각 [eqn: theta]를 나타내는 동경과 원점 [eqn: \O]를 중심으로 하는 원의 교점이 [eqn: \P(-6,```-8)]일 때, [eqn: sin` theta +cos`` theta]의 값은? 04 • 3점 ① [eqn: -{ 7} over { 5}] ② [eqn: -{ 3} over { 5}] ③ [eqn: -{ 1} over { 5}] ④ [eqn: { 3} over { 5}] ⑤ [eqn: { 7} over { 5}] [eqn: {sin` theta } over {1-cos` theta } - { cos` theta } over { sin ` theta}]를 간단히 하면? 05 • 4점 ① [eqn: sin` theta] ② [eqn: cos` theta] ③ [eqn: tan` theta] ④ [eqn: 1 over {sin `theta] ⑤ [eqn: 1 over {cos ` theta}] [eqn: pi < theta <{3} over {2} pi]이고 [eqn: cos`` theta =- {3} over {5}]일 때, [eqn: {15`sin`` theta +2} over {9`tan ` theta -2}]의 값은? 06 • 4점 ① [eqn: -5] ② [eqn: -3] ③ [eqn: -1] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 3]

대단원 평가 문제
다음 중 옳은 것은? 07 • 4점 ① 함수 [eqn: y=sin`2x]의 주기는 [eqn: {pi } over { 2}]이다. ② 함수 [eqn: y=cos` { pi } over {2 }x]의 주기는 [eqn: 4pi]이다. ③ 함수 [eqn: y=2`tan`x]의 주기는 [eqn: {pi } over { 2}]이다. ④ 함수 [eqn: y=cos LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y=sin`x]의 그래프와 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다. ⑤ 함수 [eqn: y=sin LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y=cos`x]의 그래프와 겹쳐진다. 함수 [eqn: y= cos` x over 6]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: pi over 2]만큼 평행이동하면 점 [eqn: left( 3over2 pi ,~k right)]를 지날 때, [eqn: k]의 값은? 08 • 4점 ① [eqn: - sqrt3 over 2] ② [eqn: - 1over2] ③ [eqn: 1 over 2] ④ [eqn: sqrt2 over 2] ⑤ [eqn: sqrt3 over 2] 함수 [eqn: y=a`sin`b`x+c]의 최댓값과 최솟값이 각각 [eqn: 4], [eqn: -2]이고 주기가 [eqn: {pi } over {2 }]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a-b+2c]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0]) 09 • 5점 ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]	함수 [eqn: y= {1-sin`x} over {sin`x+2}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? 10 • 5점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 다음 중 옳지 않은 것은? 11 • 4점 ① [eqn: sin` {7 } over {3 }pi =sin` {pi } over {3 }] ② [eqn: sin` LEFT ( - {2} over {3 }pi RIGHT ) =-sin` {2 } over {3 }pi] ③ [eqn: cos` {2 } over {3 }pi =-sin` {pi } over {6 }] ④ [eqn: cos` {5 } over {4 }pi =-cos` {pi } over {4 }] ⑤ [eqn: tan`` {11} over {6} pi =tan`` { pi} over {6}] 함수 [eqn: y=x ^{2} -2x`sin` theta +cos ^{2} ` theta]의 그래프의 꼭짓점이 직선 [eqn: y=x] 위에 있을 때, [eqn: theta]의 값은? 12 [eqn: LEFT ( {matrix{`#`}} RIGHT .]단, [eqn: 0 LEQ theta< {pi } over {2}][eqn: LEFT. {matrix{`#`}} RIGHT )] • 5점 ① [eqn: 0] ② [eqn: {pi } over {6}] ③ [eqn: {pi } over {5}] ④ [eqn: {pi } over {4}] ⑤ [eqn: {pi } over {3}]

대단원 평가 문제
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 13 [eqn: x ^{2} -2x`cos` theta ``+3`cos` theta >0]이 항상 성립하도록 하는 [eqn: theta]의 값의 범위는? (단, [eqn: 0leq theta <2pi]) • 5점 ① [eqn: 0leq theta < pi over 4] ② [eqn: 0 leq theta <{3 over 2}pi] ③ [eqn: 0leq theta < pi over 2] 또는 [eqn: 3 over2 pi < theta < 2pi] ④ [eqn: 0< thetaleq pi over 2] 또는 [eqn: 3 over2 pi LEQ theta < 2pi] ⑤ [eqn: 0<theta LEQ pi over 4] 또는 [eqn: 7 over 4 pi LEQ theta <2pi] 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: a=3], [eqn: B=50DEG], [eqn: C = 70DEG]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이는? 14 • 4점 ① [eqn: 2pi] ② [eqn: 5 over 2 pi] ③ [eqn: 3pi] ④ [eqn: 7 over 2 pi] ⑤ [eqn: 4pi]	삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: a= sqrt7], [eqn: b= 5], [eqn: c=2sqrt3]일 때, [eqn: B+C]의 값은? 15 • 4점 ① [eqn: 110DEG] ② [eqn: 120DEG] ③ [eqn: 130DEG] ④ [eqn: 140DEG] ⑤ [eqn: 150DEG] 사각형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선의 길이가 [eqn: 8], [eqn: 12]이고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 [eqn: 45DEG]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는? 16 • 5점 ① [eqn: 12] ② [eqn: 12sqrt2] ③ [eqn: 24] ④ [eqn: 24sqrt2] ⑤ [eqn: 48] 서 답 형 다음 조건을 모두 만족시키는 각 [eqn: theta]는 제몇 사분면의 각인지 말하시오. 17 • 4점 ㈎ [eqn: sin` theta` cos` theta<0] ㈏ [eqn: { cos` theta} over { tan` theta } >0]

대단원 평가 문제
서 술 형 [eqn: 0 < theta < pi over 2]이고 [eqn: tan `theta + 1over {tan `theta} =4]일 때, 18 [eqn: sin ^3 `theta + cos ^3 `theta]의 값을 구하시오. • 5점 다음 식의 값을 구하시오. 19 • 5점 [eqn: sin ^{2} `1 DEG +sin ^{2} `2 DEG + CDOTS +sin ^{2} `89 DEG +sin ^{2} `90 DEG] 서 술 형 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 5x^2 -2x+t =0]의 두 근이 [eqn: sin alpha], [eqn: cos alpha]일 때, 상수 [eqn: t]의 값을 구하시오. 20 • 4점	서 술 형 오른쪽 그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: 60DEG]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3sqrt3]인 부채꼴 [eqn: rmABC]에 외접하는 원의 넓이를 구하시오. 21 • 5점 오른쪽 그림과 같이 세 마을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 있다. 22 [eqn: bar{rm AC it} =8``rmkm], [eqn: bar{rm BC} = 7``rmkm]이고 [eqn: A = 60DEG]일 때, 두 마을 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리를 구하시오. (단, [eqn: rm {bar{AB}} >3`km]) • 5점 오른쪽 그림과 같은 삼각형 [eqn: rmABC]에서 23 [eqn: bar{rmAB} =5], [eqn: bar{ rm AC} =3], [eqn: A =120 DEG]이다. [eqn: angle rm A]의 이등분선이 [eqn: rmbar{BC}]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, [eqn: bar{rmAD}]의 길이를 구하시오. • 5점

삼각함수

정답 및 풀이

Ⅱ

1. ④	2. ③	3. ④	4. ①	5. ④

6. ③	7. ⑤	8. ⑤	9. ④	10. ②

11. ⑤	12. ②	13. ③	14. ③	15. ⑤

16. ④	17. 제[eqn: `2`]사분면	18. [eqn: {3 sqrt {6}} over {8}]

19. [eqn: 91 over 2]	20. [eqn: - 21 over 10]	21. [eqn: 9 pi]	22. [eqn: 5`` rm km]

23. [eqn: 15 over 8]

[eqn: theta + 5theta = 2n pi] ([eqn: n]은 정수)이므로    [eqn: theta = n over 3 pi]

2

[eqn: pi < theta < 2pi]에서 [eqn: pi < n over 3 pi < 2pi]이므로

[eqn: 3 < n <6]

[eqn: therefore`` n=4] 또는 [eqn: n=5]

따라서 [eqn: theta = 4 over 3 pi] 또는 [eqn: theta = 5 over 3 pi]이므로 그 합은    [eqn: 3pi]

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r]라고 하면

3

[eqn: {1} over {2} TIMES r TIMES 4 pi =12 pi]    [eqn: THEREFORE r=6]

부채꼴의 중심각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면
[eqn: 6theta =4 pi]    [eqn: THEREFORE theta = {2} over {3} pi]

[eqn: {sin` theta } over {1-cos` theta } - {cos` theta } over {sin` theta } = {sin` theta ` LEFT ( 1+cos` theta RIGHT )} over {1-cos ^{2} ` theta `} - {cos` theta } over {sin` theta }]
[eqn: = {1+cos` theta } over {sin` theta } - {cos` theta } over {sin` theta } = {1} over {sin` theta }]

5

[eqn: sin `theta = - sqrt{ 1- left( - 3over5 right)^2 } = - 4 over 5][eqn: LEFT ( BECAUSE pi < theta < {3} over {2} pi RIGHT )]이므
로    [eqn: tan `theta = 4 over 3]

6

[eqn: THEREFORE {15`sin` theta +2} over {9tan` theta -2} = {15 TIMES LEFT ( - {4} over {5} RIGHT ) +2} over {9 TIMES {4} over {3} -2} =-1]

① 함수 [eqn: y=sin`2x]의 주기는 [eqn: pi]이다.

7

② 함수 [eqn: y=cos` { pi } over {2 }x]의 주기는 [eqn: 4]이다.

③ 함수 [eqn: y=2`tan`x]의 주기는 [eqn: pi]이다.

④ 함수 [eqn: y=cos LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y=sin`x]의 그래프와 겹쳐진다.

[eqn: y= cos ` 1over6 left( x - pi over 2 right)]의 그래프가 점 [eqn: left( 3 over 2 pi ,~ k right)]를 지나므로    [eqn: k = cos ` pi over 6 = sqrt3 over 2]

8

[eqn: a+c=4], [eqn: -a+c=-2]이므로 두 식을 연립하여 풀면    [eqn: a=3,~c=1]

9

또 [eqn: {2 pi } over {b} = {pi } over {2}]에서    [eqn: b=4]

[eqn: THEREFORE` a-b+2c=1]

[eqn: sinx=t][eqn: ``(-1 LEQ t LEQ1)]로 놓으면

10

[eqn: y= { 1-t} over {t+2 }`=` { -(t+2)+3} over {t+2 }`=` { 3} over { t+2}-1]

따라서 [eqn: t`=`-1]일 때 최댓값 [eqn: 2], [eqn: t`=`1]일 때 최솟값 [eqn: 0]을 가지므로

[eqn: M=][eqn: 2], [eqn: m=][eqn: 0]

[eqn: THEREFORE M+m=`2]

⑤ [eqn: tan` {11} over {6} pi =tan` LEFT ( 2 pi - {pi } over {6} RIGHT ) =-tan` {pi } over {6}]

11

[eqn: y=(x-sin` theta ) ^{2} -sin ^{2} ` theta + cos ^{2} ` theta]에서

12

점 [eqn: (sin` theta ,````-sin ^{2} ` theta +cos ^{2} ` theta )]가 직선 [eqn: y=x] 위에 있으므로    [eqn: -sin ^{2} ` theta +cos ^{2} ` theta =sin` theta]

[eqn: -sin ^{2} ` theta+ (1-sin ^{2} ` theta) =sin` theta]

[eqn: 2`sin ^{2} ` theta +sin` theta -1=0]

[eqn: (2`sin` theta -1)(sin` theta +1)=0]

[eqn: THEREFORE `sin` theta = {1} over {2}] [eqn: LEFT( BECAUSE` 0 LEQ theta < {pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``` theta = {pi } over {6}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2`x`cos` theta x`+3`cos` theta =0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

13

[eqn: D over 4 =cos ^ 2` theta - 3 cos` theta = cos `theta(cos` theta-3)<0]

[eqn: THEREFORE` 0 <cos`theta <3]

따라서 [eqn: 0 < cos` thetaleq 1] [eqn: (BECAUSE` -1leq cos` thetaleq 1)]이므로

[eqn: 0leq theta < pi over 2] 또는 [eqn: 3 over2 pi < theta < 2pi]

[eqn: A=180 DEG - LEFT ( 50 DEG +70 DEG RIGHT ) =60 DEG]
외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라고 하면 사인법칙에 의하여    [eqn: {3} over {sin`60 DEG } =2R]    [eqn: THEREFORE R=3]
따라서 외접원의 넓이는    [eqn: 3 pi]

14

코사인법칙에 의하여
[eqn: cos`A= {5 ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( sqrt {7} RIGHT ) ^{2}} over {2 TIMES 5 TIMES 2 sqrt {3}} = {sqrt {3}} over {2}]
[eqn: THEREFORE A=30 DEG]
[eqn: THEREFORE B+C=180 DEG -30 DEG =150 DEG]

15

사각형 ABCD의 넓이는
[eqn: {1} over {2} TIMES 8 TIMES 12 TIMES sin`45 DEG =24 sqrt {2}]

16

㈎에서 [eqn: sin` theta` cos` theta<0]이므로 각 [eqn: theta]는 제[eqn: `2`]사분면 또는 제[eqn: `4`]사분면의 각이다.

17

㈏에서 [eqn: { cos` theta} over {tan` theta} >0]이므로 각 [eqn: theta]는 제[eqn: `1`]사분면 또는 제[eqn: `2`]사분면의 각이다.

따라서 각 [eqn: theta]는 제[eqn: `2`]사분면의 각이다.

[eqn: tan `theta + 1 over { tan `theta } = {sin ` theta } over {cos ` theta} + {cos `theta } over {sin ` theta } = 1 over {sin `theta `cos `theta }=4]이므로

18

[eqn: sin `theta ` cos `theta = 1over4]	□❶

[eqn: (sin `theta + cos `theta )^2 = 1+2sin `theta ` cos `theta]에서

[eqn: sin` theta +cos` theta = {sqrt {6}} over {2}] [eqn: LEFT ( BECAUSE `sin theta >0,``cos theta >0 RIGHT )]

□❷

[eqn: therefore`` sin ^3 `theta + cos ^3 `theta]

[eqn: = (sin `theta + cos `theta ) ( sin ^2 `theta - sin `theta `cos `theta + cos ^2 `theta )]

[eqn: = {3 sqrt {6}} over {8}]	□❸

채점기준표		점수
❶	[eqn: sin `theta` cos `theta]의 값을 구할 수 있다.	1
❷	[eqn: sin `theta + cos `theta]의 값을 구할 수 있다.	2
❸	[eqn: sin^3 `theta + cos^3 `theta]의 값을 구할 수 있다.	2

[eqn: sin `89 DEG =cos `1 DEG], [eqn: sin ` 88 DEG =cos `2 DEG],

19

[eqn: sin ` 87 DEG =cos `3 DEG, ~ CDOTS]이므로 구하는 식의 값은

[eqn: (sin ^{2} 1 DEG +cos ^{2} 1 DEG )+(sin ^{2} 2 DEG +cos ^{2} 2 DEG )+ CDOTS]      [eqn: +(sin ^{2} 44 DEG +cos ^{2}44 DEG)+sin ^{2}45 DEG +sin ^{2}90 DEG]

[eqn: =1 times 44+ { 1} over {2 }+1 = {91} over {2 }]

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

20

[eqn: sin` alpha +cos`alpha= {2} over {5}], [eqn: sin` alpha `cos`alpha= {t} over {5}]	□❶

[eqn: (sin` alpha +cos`alpha) ^{2} =1+2sin` alpha `cos`alpha]에서

[eqn: left( 2over5 right)^2 = 1+ 2 times t over 5]    [eqn: therefore `` t = - 21 over 10]	□❷

채점기준표		점수
❶	이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용할 수 있다.	2
❷	[eqn: t]의 값을 구할 수 있다.	2

삼각형 [eqn: rmABC]는 정삼각형이므로

21

[eqn: rmbar{AC} = 3sqrt3]	□❶

외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의하여    [eqn: {3sqrt3 } over {sin `60DEG} = 2R]

[eqn: THEREFORE ``R=3]	□❷

따라서 구하는 원의 넓이는

[eqn: pi TIMES 3 ^{2} =9 pi]	□❸

채점기준표		점수
❶	[eqn: rm bar AC]의 길이를 구할 수 있다.	2
❷	외접원의 반지름의 길이를 구할 수 있다.	2
❸	원의 넓이를 구할 수 있다.	1

[eqn: {bar{rm AB it}} =x`rmkm]라 하면 코사인법칙에 의하여

22

[eqn: 7^2 = x^2 +8^2 - 2 times x times 8 times cos `60DEG]

[eqn: x^2 -8x+15=0],    [eqn: (x-3)(x-5)=0]

[eqn: therefore`` x=5] ([eqn: because `` x > 3])

따라서 두 마을 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리는 [eqn: 5``rmkm]이다.

[eqn: rm triangleABC=triangleABD +triangleACD]이므로

23

[eqn: 1over2 times 5 times 3 times sin `120DEG]

[eqn: = 1over2 times 5 times bar{rmAD} times sin `60DEG]

[eqn: + 1over2 times 3 times bar{rmAD} times sin `60DEG]

[eqn: 15 = 8 bar{rm AD}]    [eqn: therefore`` bar{rm AD} = 15 over 8]